边界为什么会有平衡点

第二层 · 边界力学——一套铺在那个对象之上的变分理论，不是与它一起被推导出来的

第一层确定了边界是什么，但它没说边界该有多锐。第二层补上这一点，用的是一支两项势。有趣的问题不是这支势长什么样，而是什么迫使它长这样。答案异常干净，而且一半是否定性的。

那支势

V (κ) = 维持代价 c_{0} κ + 不确定代价 \frac{α C _{F}}{κ}

第一项是维持一条锐边界要付的代价；第二项是「不知道」要付的代价。C_F 是核常数——唯一依赖于核形状的量。在锚点的机器人读法里，这两项字面上就是一个控制器的两半：硬挺要付什么，不确定要付什么。

锐度以重标度的方式作用在核上。在这个重标度下，边界的熵带有确定的权，而 1/κ 律正是那个权所蕴含的。它不是建模选择：

H (κ) = \int_{R} h (F (κ z)) d z = \frac{C _{F}}{κ}, H 对 κ 单调递减

边界越锐，它携带的熵越少。1/κ 律就是熵泛函的权-(−1) 等变性。

仅在范畴公理下，维持侧完全不受约束：存在两个不同的可采纳模型。第一层里没有任何东西约束它。诚实的表述是：那个形式没有像先前声称的那样被迫使。

A7 —— 维持成本可加。 维持成本在不相交的子系统上可加，且对锐度连续。假设
A7 自然、可陈述、并且可证伪。机器人读法：撑住两个独立关节所需的力矩，等于分别撑住每个关节所需力矩之和。若某系统的维持成本不可加，A7 失败，那个形式也就不再被迫使。

在 A7 之下，维持成本成为线性的：M(κ) = c₀·κ，其中 c₀ = M(1)。其数学内核是标准事实——实数向量空间之间的连续加性映射是线性的——毫不 exotic，且可机器检验。

这里是值得读两遍的部分。两个模型可以都满足 A7，而维持项不同：

M_{1} : c_{0} = 1, M_{2} : c_{0} = 2, M_{1} . maint (1) \neq = M_{2} . maint (1)

⟹ M_{1} . V (1) \neq = M_{2} . V (1)

所以该公理系统不是范畴性的：势只被确定到系数 c₀ 为止。这是一条定理，不是一句免责声明。

对「公理没有产出那个公式」这一责难的形式化收口。 回答不是否认。公理确实产出了形式——线性维持项加一个熵的 1/κ 项——并且可证地不产出那个系数。系数由归一化 σ* = 1 固定，而那是一个规范条件，不是推论。一个声称从虚无中导出它的理论，等于在声称导出了一个单位。

不主张什么。 不主张这支势描述了任何真实系统。A7、以及把 κ 等同于某个可测刚度，是假设或假设性映射；它们的经验合法性是开放的，而那正是【实验】页上那些预测的主题。